Question

20．己知a＞0，b＞0，c＞1且a+b=1，则（$\frac{{a}^{2}+1}{ab}$-2）•c+$\frac{\sqrt{2}}{c-1}$的最小值为$4+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据a+b=1和“1”的代换，利用不等式化简$\frac{{a}^{2}+1}{ab}$，代入$（\frac{{a}^{2}+1}{ab}-2）•c+\frac{\sqrt{2}}{c-1}$化简后，利用添补项和基本不等式求出式子的最小值，并求出等号成立时a、b、c的值．

解答 解：因为a＞0，b＞0，a+b=1，
所以$\frac{{a}^{2}+1}{ab}$=$\frac{{a}^{2}+（a+b）^{2}}{ab}$=$\frac{{2a}^{2}+{b}^{2}+2ab}{ab}$
≥$\frac{2\sqrt{2}ab+2ab}{ab}$=$2\sqrt{2}+2$，
又c＞1，则$（\frac{{a}^{2}+1}{ab}-2）•c+\frac{\sqrt{2}}{c-1}$≥$2\sqrt{2}c+\frac{\sqrt{2}}{c-1}$
=$\sqrt{2}$[2（c-1）+$\frac{1}{c-1}$+2]≥$\sqrt{2}[2\sqrt{2（c-1）•\frac{1}{c-1}}+2]$
=4+2$\sqrt{2}$，
其中等号成立的条件：当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}={b}^{2}}\\{a+b=1}\\{2（c-1）=\frac{1}{c-1}}\end{array}\right.$，
解得a=$\sqrt{2}-1$、b=2$-\sqrt{2}$、c=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$（\frac{{a}^{2}+1}{ab}-2）•c+\frac{\sqrt{2}}{c-1}$的最小值是$4+2\sqrt{2}$，
故答案为：$4+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查利用基本不等式求最值问题，“1”的代换灵活应用，考查灵活变形、化简能力，属于中档题．