Question

已知{a_n}是正数组成的数列，其前n项和2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），数列{b_n}满足b1=

3

2

，bn+1=bn+3an(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=a_nb_n（n∈N^*），数列{c_n}的前n项和Tn，求

lim

n→∞

Tn

cn

．

Answer 1

分析：（I）由题设知a₁=1，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

(an2+an)-

1

2

(an-12+an-1)，a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0，故（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由此能导出a_n=n．于是b_n+1=b_n+3ⁿ，b_n+1-b_n=3ⁿ，由此能求出b_n．
（II）cn=

1

2

n•3n，Tn=

1

2

(1×3+2×32+…n×3n)，由错位相减法能求出Tn =

(2n-1)•3n+1+3

8

，由此能得到

lim

n→∞

Tn

cn

=

lim

n→∞

(2n-1)•3n+1+3 8

n•3n 2

=

lim

n→∞

(2n-1)•3n+1+3

4n•3n

=

lim

n→∞

(

3

2

-

3

4n

+

3

4n

• 

1

3n

)=

3

2

．

解答：解：（I）a1 =S1=

1

2

(a12+a1)，∴a₁=1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

(an2+an)-

1

2

(an-12+an-1)，
∴a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
于是b_n+1=b_n+3ⁿ，∴b_n+1-b_n=3ⁿ，b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=

3

2

+3+32+…+3n-1=

3

2

+

3-3n

1-3

=

3n

2

．
（II）cn=

1

2

n•3n，
∴Tn=

1

2

(1×3+2×32+…n×3n)，3Tn=

1

2

(1×32+2×33+…+n×3n+1)，
∴2Tn=

1

2

(n•3n+1-3-32-…-3n)=

1

2

(n•3n+1-

3-3n+1

1-3

)=

(2n-1)•3n=1+3

4

，
Tn =

(2n-1)•3n+1+3

8

，
∴

lim

n→∞

Tn

cn

=

lim

n→∞

(2n-1)•3n+1+3 8

n•3n 2

=

lim

n→∞

(2n-1)•3n+1+3

4n•3n

=

lim

n→∞

(

3

2

-

3

4n

+

3

4n

• 

1

3n

)=

3

2

．

点评：第（I）题考查数列通项公式的求法，解题时要注意迭代法的合理运用；第（II）题考查前n项和的计算和极限在数列中的运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．