Question

（2013•蓟县一模）已知直线l分别过函数y=a^x，（a＞0且a≠1）于函数y=log_bx，（b＞0且b≠1）的定点，第一象限的点P（x，y）在直线l上，则-

2

x

-

1

2y

的最大值为

-

9

2

．

Answer 1

分析：先由指数函数与对数函数的特殊点得到两定点的坐标，再由直线方程的截距式得到x与y满足的关系式，最后依据基本不等式即可求出式子的最大值．

解答：解：由于函数y=a^x，（a＞0且a≠1）与函数y=log_bx，（b＞0且b≠1）的定点分别为（0，1），（1，0）
故由截距式得到直线l的方程为x+y=1，
又由第一象限的点P（x，y）在直线l上，则x+y=1，（x＞0，y＞0）
则-

2

x

-

1

2y

=-

2(x+y)

x

-

x+y

2y

=-

5

2

-(

2y

x

+

x

2y

)≤-

5

2

-2

2y x × x 2y

=-

9

2

（当且仅当

2y

x

=

x

2y

即x=

2

3

，y=

1

3

时，取“=”）
故答案为-

9

2

．

点评：本题考查利用基本不等式求最值问题，同时考查了基本初等函数的特殊点及直线的截距式方程，属于基础题．