Question

在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.

（1）求证：平面⊥平面

（2）求直线与平面所成的角的大小；

（3）求点到平面的距离.

Answer 1

解析：

方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。

又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，

 

所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD。

（2）由（1）知，，又，则是的中点可得

，

则

设D到平面ACM的距离为，由即，

可求得，

设所求角为，则，。

（1）   可求得PC=6。因为AN⊥NC，由，得PN。所以。

故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。

又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为。

方法二：

（1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，；设平面的一个法向量，由可得：，令，则

。设所求角为，则，

 所以所求角的大小为。

（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。