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    （本题满分12分）设函数，对任意实数都有

    （Ⅰ）求的值；

    （Ⅱ）若的值；

    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，猜想的表达式，并用数学归纳法加以证明.

     

    【答案】

     

    （Ⅰ）

    （Ⅱ）

    （Ⅲ）

    证明如下：（1）当时，，猜想成立

    （2）假设时猜想成立，即

    则

       所以当时，猜想也成立  

    综合（1）（2）可知，对一切，都有成立.

    【解析】解：（Ⅰ）令得：…… 2分

    （Ⅱ）由

                   

                                        …… 4分

    （Ⅲ）由（Ⅱ）猜想                              …… 6分

    证明如下：（1）当时，，猜想成立                    …… 7分

    （2）假设时猜想成立，即                …… 8分

       则            …… 10分

       所以当时，猜想也成立                                 …… 11分

     综合（1）（2）可知，对一切，都有成立.             ……12分

     

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    当为真，求实数的取值范围；

     

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    (1)求函数的单调区间；

    (2）若对恒成立，求实数的取值范围.

     

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    （Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值。

     

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    (1)若与垂直，求的值

    （2）求的最大值;

     

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    设,分别是椭圆：的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于、两点，且，，成等差数列，

    （Ⅰ）求的离心率；

    （Ⅱ）设点满足,求的方程。

     

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