Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）求二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A₁O，可证A₁O⊥底面ABCD，从而建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，证明向量的数量积为0 即可得到BD⊥AA₁；
（Ⅱ）确定平面AA₁C₁C、平面AA₁D的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）解：假设在直线CC₁上存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，求出平面DA₁C₁的法向量，利用数量积为0，即可求得结论．
法二：（Ⅰ）先证明BD⊥平面AA₁O，即可证得AA₁⊥BD；
（Ⅱ）过O作OE⊥AA₁于E点，连接OE，则∠DEO为二面角D-AA₁-C的平面角，求出OE、DE，即可求得二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）存在这样的点P，连接B₁C，在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP，可得四边形BB₁CP为平行四边形，进而利用线面平行的判定可得结论．

解答：法一：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A₁O，
在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，∠A₁AO=60°
∴A₁O²=AA₁²+AO²-2AA₁•Aocos60°=3
∴AO²+A₁O²=A₁²
∴A₁O⊥AO，
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AO
∴A₁O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则
A（0，-1，0），B（

3

，0，0），C（0，1，0），
D（-

3

，0，0），A₁（0，0，

3

）                         …（2分）
∵

BD

=(-2

3

，0，0)，

AA1

=(0，1，

3

)，
∴

AA1

•

BD

=0×(-2

3

)+1×0+

3

×0=0
∴BD⊥AA₁…（4分）
（Ⅱ）解：∵OB⊥平面AA₁C₁C，∴平面AA₁C₁C的法向量

n1

=(1，0，0)
设

n2

⊥平面AA₁D，

n2

=(x，y，z)，则由

n2 ⊥ AA1 n2 ⊥ AD

得到

y+ 3 z=0 - 3 x+y=0

，∴

n2

=(1，

3

，-1)…（6分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

5

5

所以二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是

5

5

…（8分）
（Ⅲ）解：假设在直线CC₁上存在点P，使BP∥平面DA₁C₁
设

CP

=λ

CC1

，P(x，y，z)，则得P(0，1+λ，

3

λ)，

BP

=(-

3

，1+λ，

3

κ)…（9分）
设

n3

⊥平面DA₁C₁，

n3

=(x3，y3，z3)，则由

n3 ⊥ A1C1 n3 ⊥ DA 1

得到

2y3=0 3 x 3+ 3 z3=0

，∴

n3

=(1，0，-1)…（10分）
又因为

BP

∥平面DA₁C₁，则

n3

•

BP

=0，∴-

3

-

3

λ=0，∴λ=-1
即点P在C₁C的延长线上且使C₁C=CP          …（13分）
法二：（Ⅰ）证明：过A₁作A₁O⊥AC于点O，
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，由面面垂直的性质定理知，A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥BD
又底面为菱形，所以AC⊥BD
∵A₁O∩AC=O
∴BD⊥平面AA₁O
∵AA₁?平面AA₁O
∴AA₁⊥BD…（4分）
（Ⅱ）解：在△AA₁O中，A₁A=2，∠A₁AO=60°，∴AO=AA₁•cos60°=1
所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以O也是BD中点
由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA₁C
过O作OE⊥AA₁于E点，连接OE，则AA₁⊥DE，故∠DEO为二面角D-AA₁-C的平面角                  …（6分）
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2，∴AO=1，DO=

AB2-AO2

=

3

在Rt△AEO中，OE=OA•sin∠EAO=

3

2

DE=

OE2+OD2

=

3 4 +3

=

15

2

∴cos∠DEO=

OE

DE

=

5

5

∴二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是

5

5

…（9分）
（Ⅲ）解：存在这样的点P，连接B₁C，
∵A₁B₁

∥ .

.

AB

∥ .

.

DC，∴四边形A₁B₁CD为平行四边形，∴A₁D∥B₁C
在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP                       …（11分）
∵B₁B

∥ .

.

CC₁，…（12分）
∴BB₁

∥ .

.

CP
∴四边形BB₁CP为平行四边形
∴BP∥B₁C，∴BP∥A₁D
∵BP?平面DA₁C₁，A₁D?平面DA₁C₁，
∴BP∥平面DA₁C₁                      …（13分）

点评：本题考查线面位置关系，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行、垂直的判定方法，正确作出面面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．