Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{2}x，x≥1}\\{3f（x+1）+m，x＜1}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函数，则实数m的取值范围是m≤-3．

Answer 1

分析 若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log}_{2}x，x≥1\\ 3f（x+1）+m，x＜1\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函数，则以分界点处左段函数的值不大于右段函数的值，由此构造关于m的不等式，解得可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log}_{2}x，x≥1\\ 3f（x+1）+m，x＜1\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的增函数，
故当x=1时，3f（1+1）+m≤log₂1，
即3+m≤0，
解得：m≤-3，
故答案为：m≤-3

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分段函数的单调性，正确理解分段函数的单调性是解答的关键．