Question

设x_n={1，2，…，n}（n∈N₊），对x_n的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最小元素，当A取遍x_n的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S_n．则①S₃=

11

，②S_n

2ⁿ⁺¹-2-n

．

Answer 1

分析：①把X_n的所有非空子集写出来即可得出；
②设x_n={1，2，…，n}（n∈N₊），对x_n的任意非空子集A共有2ⁿ-1个，其中最小值为1的有2^n-1，最小值为2的有2^n-2个，…，最小值为n的只有2⁰=1个，即可得出S_n．

解答：解：①当n=3时，X₃={1，2，3}，其非空子集共有2³-1=7个，为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．则S₃=1+2+3+1+1+1+2=11；
②设x_n={1，2，…，n}（n∈N₊），对x_n的任意非空子集A共有2ⁿ-1个，其中最小值为1的有2^n-1，最小值为2的有2^n-2个，…，最小值为n的只有2⁰=1个，
故S_n=2^n-1×1+2^n-2×2+…+2¹×（n-1）+2⁰×n，
∴2Sn=2n+2×2n-1+…+2¹×n，
两式相减得Sn=2n+2n-1+…+2¹-n=2ⁿ⁺¹-2-n．
故答案分别为11，2ⁿ⁺¹-2-n．

点评：正确得出“x_n的任意非空子集A共有2ⁿ-1个，其中最小值为1的有2^n-1，最小值为2的有2^n-2个，…，最小值为n的只有2⁰=1个”是解题的关键．