Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD
∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD
∵CD⊆平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD；
（2）取AD中点O，连接EO，
∵△PAD中，EO是中位线，∴EO∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，
∵AC⊆平面ABCD，∴EO⊥AC
过O作OF⊥AC于F，连接EF，则
∵EO、OF是平面OEF内的相交直线，
∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC
∴∠EFO就是二面角E-AC-D的平面角
由PA=2，得EO=1，
在Rt△ADC中，设AC边上的高为h，则AD×DC=AC×h，得h=
∵O是AD的中点，∴OF=×=
∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF==
∴cos∠EFO==
分析：（1）根据PA⊥平面ABCD，得到PA⊥CD，结合AD⊥CD可得CD⊥平面PAD，因为CD是平面PDC内的直线，所以平面PDC⊥平面PAD；
（2）取AD中点O，过O作OF⊥AC于F，连接EO、EF，利用线面垂直的判定与性质，可证出∠EFO就是二面角E-AC-D的平面角．在Rt△EOF中，分别算出OF和EF的长，可得∠EFO的余弦值，即为所求二面角的平面角的余弦值．
点评：本题给出特殊的四棱锥，叫我们证明面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了平面与平面所成角的求法和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．