Question

已知函数，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，正项数列{b_n}的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=+（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明数列{}是等差数列，并求S_n；
（3）若数列{}前n项和为T_n，问的最小正整数n是多少？
（4）设，求数列{c_n}的前n项和P_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为，，．数列{a_n}成等比数列，能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由，n≥2，知，（n≥2），由此能够证明数列{}是等差数列，并求出S_n．
（3）由（2）得，当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，故，由此利用裂项求和法能求出满足的最小正整数．
（4）由，知，由此利用错位相减法能够求出数列{c_n}的前n项和P_n．
解答：解：（1）因为，
，
．
又数列{a_n}成等比数列，
所以==-=，
解得c=1．…（2分）
又公比q=，
所以=-2•（）^n-1，n∈N^*．…（3分）
（2）∵，n≥2，
即，n≥2
∴，（n≥2）…（5分）
又
∴数列{}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴=1+（n-1）×1=n，∴．…（6分）
（3）由（2）得，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，（*）
又b₁=S₁=1，适合（*）式
∴b_n=2n-1，（n∈N^*） …（8分）
∵，
∴
=
=（1-）=，…（10分）
由T_n=＞，得n＞，
故满足的最小正整数为112．…（11分）
（4）．…（12分）
∴①②
②-①得

∴．…（14分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法、错位相减法的合理运用．