Question

14．已知指数函数y=g（x）满足：g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$，定义域为R的函数f（x）=$\frac{1-g（x）}{m+2g（x）}$是奇函数．
（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）解关于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

Answer 1

分析 （1）由g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$，可得y=g（x）的解析式；由函数f（x）=$\frac{1-g（x）}{m+2g（x）}$是奇函数，可得m值，进而可得y=f（x）解析式；
（2）函数f（x）在R为减函数，作差判断可得绪论；
（3）f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．又因为f（x）是奇函数，所以不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等价于t²-2t＞-2t²+1，解得答案．

解答 解：（1）设g（x）=a^x，
∴g（$\frac{1}{2}$）=${a}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴a=2，
∴g（x）=2^x，
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{m+2•{2}^{x}}$，
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{1-{2}^{-x}}{m+2•{2}^{-x}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{m{2}^{x}+2}$=-$\frac{1-{2}^{x}}{m+2•{2}^{x}}$，
解得m=2，
∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+2•{2}^{x}}$    （4分）
（2）函数f（x）在R为减函数，理由如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则$1+{2}^{{x}_{1}}＞0$，$1+{2}^{{x}_{2}}＞0$，${{2}^{{x}_{2}}-2}^{{x}_{1}}＞0$
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{2+2•{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{2+2•{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）…（6分）
故函数f（x）在R为减函数．  （8分）
（3）f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．又因为f（x）是奇函数，
所以不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（-2t²+1）．
因为f（x）是减函数，由上式推得t²-2t＞-2t²+1，即3t²-2t-1＞0，
解不等式可得{t|t＞1或$\left.{t＜-\frac{1}{3}}\right\}$．（12分）

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，转化思想，难度中档．