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    利用导数证明：当x＞0时,ln（1+x）＞x-.

    证明:设f（x）=ln（1+x）-x+,其定义域为（-∞,+∞）.?

    f′（x）=-1+x=＞0.

    所以f（x）在（-1,+∞）是增函数.?

    由增函数定义知,当x＞0时f（x）＞f（0）=0.?

    即x＞0时,ln（1+x）＞x-.

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省高三第五次质量检测文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数

    （Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

    （Ⅱ）令g（x）= f（x）－x2，是否存在实数a，当x∈（0，e](e是自然常数)时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；

    （Ⅲ）当x∈（0，e]时，证明：

    【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。第一问中利用函数f（x）在[1，2]上是减函数，的导函数恒小于等于零，然后分离参数求解得到a的取值范围。第二问中，

    假设存在实数a，使有最小值3，利用，对a分类讨论，进行求解得到a的值。

    第三问中，

    因为，这样利用单调性证明得到不等式成立。

    解：(Ⅰ)

    (Ⅱ) 

    （Ⅲ）见解析

     

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