Question

已知直L₁：2x-y=0，L₂：x-2y=0．动圆（圆心为M）被L₁L₂截得的弦长分别为8，16．
（Ⅰ）求圆心M的轨迹方程M；
（Ⅱ）设直线y=kx+10与方程M的曲线相交于A，B两点．如果抛物y²=-2x上存在点N使得|NA|=|NB|成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设M（x，y），M到L₁，L₂的距离分别为d₁，d₂，则d₁²+4²=d₂²+8²．所以，由此能求出圆心M的轨迹方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（1-k²）x²-20kx-180=0．AB的中点为，AB的中垂线为，由，得．由此能求出k的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），M到L₁，L₂的距离分别为d₁，d₂，则d₁²+4²=d₂²+8²．…（2分）
∴，
∴x²-y²=80，即圆心M的轨迹方程M：x²-y²=80．  …（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，
得（1-k²）x²-20kx-180=0．        ①
∴AB的中点为，…（6分）
∴AB的中垂线为，即，…（7分）
由，得      ②…（8分）
∵存在N使得|NA|=|NB|成立的条件是：①有相异二解，并且②有解． …（9分）
∵①有相异二解的条件为，
∴⇒且k≠±1．③…（10分）
②有解的条件是，∴，④…（11分）
根据导数知识易得时，k³-k+40＞0，
因此，由③④可得N点存在的条件是：-1或1＜k＜．   …（12分）
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．