Question

设函数f（log₄x）=

x

2+x

．
（1）证明：对任意的实数x，都有f（x）+f（1-x）=1；
（2）解不等式：f（x²-2x）+f（4-2x）＜1．

Answer 1

分析：（1）令t=log₄x，则 x=4^t，由条件求得 f（t）=

4t

2+4t

，从而求得 f（x）=

4x

2+4x

，从而证得结论成立．
（2）根据f（x）在（-∞，+∞） 上单调递增，不等式f（x²-2x）＜1-f（4-2x）利用f（x）+f（1-x）=1可化为f（x²-2x）＜f（2x-3），即 x²-2x＜2x-3，由此求得它的解集．

解答：解：（1）令t=log₄x，则 x=4^t，∴f（t）=

4t

2+4t

，即 f（x）=

4x

2+4x

，
∴f（x）+f（1-x）=

4x

2+4x

+

41-x

2+41-x

=

4x+2

2+4x

=1，故结论成立．
（2）∵f（x）=

4x

2+4x

=1-

2

2+4x

 在（-∞，+∞） 上是单调递增函数，
∴由不等式：f（x²-2x）+f（4-2x）＜1可得 f（x²-2x）＜1-f（4-2x），再由f（x）+f（1-x）=1可得 f（x²-2x）＜f（2x-3）．
∴x²-2x＜2x-3，解得1＜x＜3，
故不等式的解集为 （1，3）．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质应用，求函数的解析式，一元二次不等式的解法，属于中档题．