Question

（1）是否存在实数m，使得2x+m＜0是x²-2x-3＞0的充分条件？
（2）是否存在实数m，使得2x+m＜0是x²-2x-3＞0的必要条件？

Answer 1

分析：（1）要判断是否存在实数m，使得2x+m＜0是x²-2x-3＞0的充分条件，即判断是否存在实数m，使2x+m＜0的解集是x²-2x-3＞0解集的子集，根据集合之间关系的判定，我们不难给出实数m的范围．
（2）要判断是否存在实数m，使得2x+m＜0是x²-2x-3＞0的必要条件，即判断是否存在实数m，使x²-2x-3＞0的解集是2x+m＜0的解集的子集，根据集合之间关系的判定，我们不难给出实数m的范围．

解答：解：（1）欲使得2x+m＜0是x²-2x-3＞0的充分条件，
则只要{x|x＜-

m

2

}⊆{x|x＜-1或x＞3}，
则只要-

m

2

≤-1
即m≥2，
故存在实数m≥2时，
使2x+m＜0是x²-2x-3＞0的充分条件．
（2）欲使2x+m＜0是x²-2x-3＞0的必要条件，
则只要{x|x＜-

m

2

}?{x|x＜-1或x＞3}，
则这是不可能的，
故不存在实数m时，
使2x+m＜0是x²-2x-3＞0的必要条件．

点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．