Question

14．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+4）（$\frac{2}{3}$）ⁿ，若数列最大项为a_k，则k=4．

Answer 1

分析 根据题意，得出$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{k}{≥a}_{k+1}}\\{{a}_{k}{≥a}_{k-1}}\end{array}\right.$，代人通项公式并化简，求出符合题意的k的值．

解答 解：数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+4）（$\frac{2}{3}$）ⁿ，且最大项为a_k，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{k}{≥a}_{k+1}}\\{{a}_{k}{≥a}_{k-1}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k（k+4{）（\frac{2}{3}）}^{k}≥（k+1）（k+5{）（\frac{2}{3}）}^{k+1}}\\{k（k+4{）（\frac{2}{3}）}^{k}≥（k-1）（k+3{）（\frac{2}{3}）}^{k-1}}\end{array}\right.$，
化简$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}≥10}\\{{k}^{2}-2k-9≤0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k≤-\sqrt{10}或k≥\sqrt{10}}\\{1-\sqrt{10}≤k≤1+\sqrt{10}}\end{array}\right.$，
即$\sqrt{10}$≤k≤1+$\sqrt{10}$；
又k∈N^*，
∴k=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了数列的通项公式与应用问题，也考查了不等式组的解法与应用问题，解题的关键是把题目转化为等价的不等式组，是基础题目．