Question

（满分１5分）设函数，，（其中为自然底数）；

（Ⅰ）求（）的最小值；

（Ⅱ）探究是否存在一次函数使得且对一切恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；

（Ⅲ）数列中，，，求证：。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）0（Ⅱ）存在符合要求,理由见解析（Ⅲ）先证递减且，再利用放缩不等式证明

【解析】

试题分析：（Ⅰ）时，

易知时、时；

所以时求取最小值等于0；                          ……4分

（Ⅱ）由题Ⅰ易知，，所以；                   ……6分

所以可设，代入

得恒成立，所以，

所以，；                                                  ……8分

此时设，

则，易知，即对一切恒成立；

综上，存在符合要求，它恰好是图象的公切线.  ……10分

（Ⅲ）先证递减且；

由题（Ⅱ）知，所以，即为递减数列；

又，，所以，…

因为当时总有，

所以；                                  ……13分

所以

.                                            ……15分

考点：本小题主要考查利用导数求最值、利用导数求解和恒成立问题和利用导数证明不等式，考查学生利用导数这个工具解决问题的能力和运算求解能力.

点评：导数是研究函数的性质如单调性、极值、最值等的有力工具，有时也用导数来解决实际应用题，要注意研究导数性质的时候不要忘记函数的定义域.