Question

下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．

（Ⅰ）若为的中点，求证：面;

（Ⅱ）证明面;

（Ⅲ）求面与面所成的二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

解: （Ⅰ）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形,PA⊥面ABCD,

PA∥EB，PA=2EB=4．∵PA=AD,F为PD的中点，

∴PD⊥AF，

又∵CD⊥DA,CD⊥PA,PA∩DA=A，

∴CD⊥面ADP,

∴CD⊥AF．又CD∩DP=D,　∴AF⊥面PC     D．   ------------- 4分

（Ⅱ）取PC的中点M,AC与BD的交点为N，连结MN，

∴MN=PA，MN∥PA，

∴MN=EB,MN∥EB，故四边形BEMN为平行四边形，

∴EM∥BN，又EM面PEC,∴BD∥面PE      C．       -------------7分

（Ⅲ）分别以BC,BA,BE为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则C（ 4,0,0），D（4 ,4 , 0），E（0,0,2），A（0,4 ,0），P（0,4,4），

∵F为PD的中点，∴F（2,4,2）．

∵AF⊥面PCD，∴为面PCD的一个法向量，

=（－2,0,－2），设平面PEC的法向量为=（x,y ,z），

       则,

       ∴,令x=1,∴,      -------------10分

       ∴

∴与的夹角为．

面PEC与面PDC所成的二面角（锐角）的余弦值为．       -------------12分