Question

7．已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+$\frac{1}{2}$x²．（e=2.71828…）
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）设a＞0，若f（x）≥$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x+b对任意x恒成立，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，分别求出f′（1），f（0）的值，从而求出f（x）的表达式，进而求出函数的单调区间即可；
（2）当a＞0时，构造函数g（x）=ae^x-a²x来研究不等式e^x≥ax+b恒成立的问题，求导易得．

解答 解：（1）∵f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+$\frac{1}{2}$x²，
∴f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，
∴f′（1）=f′（1）-f（0）+1，解得：f（0）=1，
∴f（x）=f′（1）e^x-1-x+$\frac{1}{2}$x²．
∴f（0）=$\frac{f′（1）}{e}$=1，解得：f′（1）=e，
∴f（x）=e^x+$\frac{1}{2}$x²-x，
f′（x）=e^x+x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）设a＞0，若f（x）≥$\frac{1}{2}$x²+（a-1）x+b对任意x恒成立，
即e^x≥ax+b对任意x恒成立，
若a＞0，由e^x≥ax+b得b≤e^x-ax，则ab≤ae^x-a²x．
设函数g（x）=ae^x-a²x，
∴g′（x）=ae^x-a²=a（e^x-a），令g′（x）=0得e^x-a=0，解得x=lna，
∵x＜lna时，则e^x-a＜0，∴g′（x）＜0，∴函数g（x）递减；
同理，x＞lna时，g′（x）＞0，∴函数g（x）递增；
∴当x=lna时，函数取最小值，g（x）的最小值为g（lna）=a²-a²lna．
设h（a）=a²-a²lna（a＞0），
h′（a）=a（1-2lna）（a＞0），
由h′（a）=0得a=$\sqrt{e}$，
不难得到a＜$\sqrt{e}$时，h′（a）＞0；a＞$\sqrt{e}$时，h′（a）＜0；
∴函数h（a）先增后减，∴h（a）的最大值为h（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{2}$，
即ab的最大值是$\frac{e}{2}$，此时a=$\sqrt{e}$，b=$\frac{\sqrt{e}}{2}$．

点评 本题主要考查了函数的单调性，以及利用导数求函数的最值的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题．