Question

（上海春卷20）已知函数f（x）=log_a（8-2^x）（a＞0且a≠0）
（1）若函数f（x）的反函数是其本身，求a的值；
（2）当a＞1时，求函数y=f（x）+f（-x）的最大值．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=log_a（8-2^x），∴8-2^x =a^f（x），x=，
故反函数为 y=，∴log_a（8-2^x）=，∴a=2．
（2）当a＞1时，由题意知，8-2^x＞0，∴x＜3，函数y=f（x）+f（-x）的定义域（-3，3），
函数y=f（x）+f（-x）=log_a（8-2^x）+=，
∴2^x+2^-x≥2，当且仅当x=0时，取等号．∴0＜65-8（2^x+2^-x ）≤49，
当a＞1时，函数y=f（x）+f（-x）在x=0处取得最大值log_a⁴⁹．
分析：（1）先求出反函数的解析式，利用反函数和原函数的解析式相同，求出a的值．
（2）当a＞1时，先求出函数的定义域，化简函数的解析式，利用基本不等式求出最值．
点评：本题考查求函数的反函数的方法，对数式的运算性质，基本不等式的应用．