Question

如图，已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PB=2，PB与平面ABCD所成的角为30°，PB与平面PCD所成的角为45°，求：
（1）PB与CD所成角的大小；
（2）二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

分析：（1）以D为原点，以DA，DC，DP方向，分别作x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，分别求出PB与CD的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到PB与CD所成角的大小；
（2）分别求出平面PBC与平面PBD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C-PB-D的大小．

解答：（本小题满分12分）
解：根据题意，可知PD=CD=1，BC=

2

，以D为原点，以DA，DC，DP方向，分别作x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系：
则C（0，1，0），B（

2

，1，0），P（0，0，1）．
（1）

DC

=（0，1，0），

PB

=（

2

，1，-1），cos＜

DC

，

PB

＞=

DC • PB

| DC |•| PB |

=

1

2

，
即PB与CD所成的角为60°；
（2）由

PC

=（0，1，-1），
设

m

=（x，y，z）是平面PBC的一个法向量，则

m

•

PC

=0，

m

•

PB

=0得y=z，x=0令y=z=1得

m

=（0，1，1）．
同理可求得平面PBD的一个法向量为

n

=（1，-

2

，0），cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

3

3

，
因为二面角C-PB-D为锐二面角，于是二面角C-PB-D为arccos

3

3

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，二面角的平面角及其求法，其中建立空间坐标系将线线夹角及面面夹角问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键．解答中易忽略二面角C-PB-D为锐二面角，而错解为二面角C-PB-D为arccos（-

3

3

）．