Question

一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）的值；
（2）利用归纳推理，归纳出f（n+1）与f（n）的关系式；
（3）猜想f（n）的表达式，并写出推导过程．

Answer 1

分析：（1）根据前4个图形进行归纳，求出f（2），f（3），f（4），推测f（5）的值；
（2）利用（1）的结果，归纳推理，通过相邻两个函数值的关系，归纳出f（n+1）与f（n）的关系式；
（3）猜想f（n）的表达式，利用（2）的推导方法，即可写出推导过程．

解答：解：（1）图①中只有一个小正方形，得f（1）=1；
图②中有3层，以第3层为对称轴，有1+3+1=5个小正方形，得f（2）=5；
图③中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+1=13个小正方形，得f（3）=13；
图④中有7层，以第4层为对称轴，有1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形，得f（4）=25；
图⑤中有9层，以第5层为对称轴，有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41个小正方形，得f（5）=41；
（2）∵f（1）=1； f（2）=5；f（3）=13；f（4）=25；f（5）=41；
∴f（2）-f（1）=4=4×1；
∴f（3）-f（2）=8=4×2；
∴f（4）-f（3）=12=4×3；
∴f（5）-f（4）=16=4×4；
…
∴f（n）-f（n-1）=4×（n-1）=4n-4．
∴f（n+1）与f（n）的关系式：f（n+1）-f（n）=4n．
（3）猜想f（n）的表达式：2n²-2n+1．
由（2）可知
f（2）-f（1）=4=4×1；
f（3）-f（2）=8=4×2；
f（4）-f（3）=12=4×3；
f（5）-f（4）=16=4×4；
…
∴f（n）-f（n-1）=4×（n-1）=4n-4．
将上述n-1个式子相加，得f（n）=4（1+2+3+4+…+（n-1））
=4×

(n-1)[1+(n-1)]

2

=2n²-2n+1．
f（n）的表达式为：2n²-2n+1．

点评：本题给出成一定规律排列的图形，找出第n个图形中小正方形的个数，着重考查了等差数列的通项与求和，及简单归纳推理等知识，（3）也可以利用数学归纳法证明，属于中档题．