Question

如图所示，某人在斜坡P处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高AB=80米，塔所在山高OA=220米，OC=200米，观测者所在斜坡CD近似看成直线，斜坡与水平面夹角为α，tanα=

1

2

（1）以射线OC为Ox轴的正向，OB为Oy轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡CD所在直线方程；
（2）当观察者P视角∠APB最大时，求点P的坐标（人的身高忽略不计）．

Answer 1

分析：（1）根据斜坡与水平面夹角的正切值推断出直线CD的斜率，根据0C确定C点坐标，进而利用点斜式求得直线CD的方程．
（2）设出点P的坐标，根据PA≥OC判断出∠APB为锐角，进而根据直线AP，PB的斜率求得tan∠APB的表达式，根据均值不等式求得最大值．进而求得x，y即P点坐标和角的最大值．

解答：解：（1）依题意可知CO=200
∴点C的坐标为（200，0）
∵tanα=

1

2

∴直线CD的斜率为

1

2

∴直线CD方程为：y=

1

2

(x-200)
（2）记P（x，y），
∵PA≥OC=200＞AB，
∴∠APB为锐角
tan∠APB=|

kPA-kPB

1+kPA•kPB

|=|

y-220 x - y-300 x

1+ y-220 x • y-300 x

|
=

80

5x 4 + 128000 x -360

≤

2

11

等号当

5x

4

=

128000

x

即x=320，y=60时取到
∴当观测者位于P（320，60）处视角最大为arctan

2

11

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．