Question

在整数集Z中，称被5除所得的余数为k的所有整数组成一个“k类”，记为[k]，即[k]={x|x=5n+k，n∈Z}，k=0，1，2，3，4．现给出如下四个结论：
①2011∈[1]；
②-4∈[4]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④设a，b∈Z，则a，b∈[k]?a-b∈[0]．
其中，正确结论的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：原题无答案对各个选项进行分析：①2011÷5=402…1；②-4÷5=-1…1，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可得答案．

解答：解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①正确；
②∵-4=5×（-1）+4，∴-4∉[4]，故②错误；
③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；
④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a-b被5除的余数为0，
反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．故④正确．
故答案为：①③④

点评：本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题．