Question

设异面直线a与b所成的角为50°,O为空间一定点,试讨论,过点O与a、b所成的角都是θ(0°≤θ≤90°)的直线l有且仅有几条?

Answer 1

解:过点O作a₁∥a,b₁∥b,则相交直线a₁、b₁确定一平面α.a₁与b₁夹角为50°或130°,

    设直线OA与a₁、b₁均为θ角,作AB⊥面α于点B,BC⊥a₁于点C,BD⊥b₁于点D,记∠AOB=θ₁,∠BOC=θ₂(θ₂=25°或65°),

    则有cosθ=cosθ₁·cosθ₂.

    因为0°≤θ₁≤90°,

    所以0≤cosθ≤cosθ₂.

    当θ₂=25°时,由0≤cosθ≤cos25°,得25°≤θ≤90°;

    当θ₂=65°时,由0≤cosθ≤cos65°,得65°≤θ≤90°.

    故当θ＜25°时,直线l不存在;当θ=25°时,直线l有且仅有1条;

    当25°＜θ＜65°时,直线l有且仅有2条;

    当θ=65°时,直线l有且仅有3条;

    当65°＜θ＜90°时,直线l有且仅有4条;

    当θ=90°时,直线l有且仅有1条.

讲评:异面直线所成的角就是选点、平移后的平面角.上述解答首先将问题转化为:求过点O与a₁、b₁均成θ角的直线的条数,进而通过讨论θ的范围去确定直线l的条数.