Question

【题目】Fibonacci数列又称黄金分割数列，因为当n趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数．已知Fibonacci数列的递推关系式为．

（1）证明：Fibonacci数列中任意相邻三项不可能成等比数列；

（2）Fibonacci数列{an}的偶数项依次构成一个新数列，记为{bn}，证明：{bn＋1-H2·bn}为等比数列．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

（1）利用反证法，假设存在，，三项成等比数列，则，进而由已知关系证得是无理数，这与其递推公式中反应的为有理数矛盾，得证；

（2）由题表示，进而由已知的递推关系表示出的递推公式，再构造等比数列，进而由一一对应关系计算出对应参量，最后由等比数列定义得证.

（1）证明：（反证法）假设存在，，三项成等比数列，则，

所以，所以，解得，

由条件可知Fibonacci数列的所有项均大于0，所以，

又Fibonacci数列的所有项均为整数（由递推公式），所以应该为有理数，

这与（无理数）矛盾（其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割数，而不是恰好相等），

所以假设不成立，故原命题成立．

（2）证明：由条件得，，

所以，

即，

设，则或

所以或

所以，所以为等比数列，公比为．