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     椭圆C的中心为原点， 右焦点F（，0）， 以短轴的两端点及F为顶点的三角形恰为等边三角形. 

    （1）求椭圆C的标准方程；

    （2）过椭圆C内的一点P（0，）作直线l交椭圆C于M、 N，求MN中点Q的轨迹方程；

    （3）在（2）条件下，求△OMN的面积最大值. 

     

     

     

     

     

     

     

     

    【答案】

     （1）设椭圆C的标准方程为，

            ∵ 右焦点为F（，0）  ∴   

            又∵ △B1FB2为正三角形   ∴

            结合  得 ，  

            ∴ 椭圆C的标准方程是 ………………………………… 4分

       （2）设Q（x，y），M（，），N（，）

            当直线l的斜率存在时，直线l的方程为

            代入  得   

            ∴ ， ……………………  6分

            ∴   

    消去k得  …………………………… 8分

    又∵ k不存在时，点Q为（0，0）也满足上述方程，

    ∴ 线段MN的中点Q的轨迹方程是  ………   9分

       （3）由（2）知，M（，），N（，），直线l的方程为

    代入 得

    ∴ ，

    ∴

     ………………………………………………… 11分

    又∵ 原点O到直线l的距离为

    ∴  ………………  12分

    设

    ∴

    ∴ △OMN面积的最大值为 ………………………………………   14分

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    在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为
    		2
    2
    ．过Fl的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为
     
    ．

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    在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长为2
    		2
    ，过F1的直线交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为
    y2
    16
    +
    x2
    2
    =1
    y2
    16
    +
    x2
    2
    =1
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•深圳一模）已知椭圆C 的中心为原点O，焦点在x 轴上，离心率为
    		3
    2
    ，且点(1，
    		3
    2
    )    在该椭圆上．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）如图，椭圆C 的长轴为AB，设 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，点Q 满足
    PQ
    =
    HP
    ，直线AQ与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M，
    BM
    =4
    BN
    ．求证：∠OQN为锐角．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C的中心为原点O，点F（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，
    OA
    •
    OB
    =
    1
    2

    （I）求椭圆C的方程；
    （II）已知点P为椭圆的上顶点，且存在实数t使
    PA
    +
    PB
    =t
    PF
    成立，求实数t的值和直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，且椭圆C与椭圆C1：
    x2
    4
    +
    y2
    8
    =1    的离心率相同，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为4
    		2
    ，那么椭圆C的方程为
    x2
    2
    +y2=1
    x2
    2
    +y2=1
    ．

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