Question

已知|

a

|=1， |

b

|=2， (

a

-2

b

)•(7

a

+3

b

)=-6，且

c

=m

a

+4

b

， 

d

=5

a

+m

b

，
（1）求

a

和

b

的夹角；
（2）当m取何值时，

c

与

d

共线？
（3）当m取何值时，

c

与

d

垂直？

Answer 1

分析：（1）依照向量数量积的运算法则，将(

a

-2

b

)•(7

a

+3

b

)化简整理，即可求出夹角．
（2）根据向量共线定理，存在λ使m

a

+4

b

=5λ

a

+λm

b

，再根据向量相等概念解出m即可．
（3）若

c

与

d

垂直，则

c

•

d

=0，化成关于m的方程并解出m即可．

解答：解：（1）由(

a

-2

b

)•(7

a

+3

b

)=-6，得7

a

2-6

b

2-11

a

•

b

=-6，
即7×1-6×4-11×1×2×cosθ=-6，解得cosθ=-

1

2

，
∵0°≤θ≤180°，∴θ=120°
（2）∵

c

∥

d

，∴令

c

=λ

d

，
即m

a

+4

b

=5λ

a

+λm

b

，∵

a

，

b

不共线，
∴

m=5λ 4=λm

，解得m=±2

5

（3）∵

c

⊥

d

，∴

c

•

d

=0，即(m

a

+4

b

)•(5

a

+m

b

)=0，
得5m

a

2+(m2+20)

a

•

b

+4m

b

2=0，
即m²-21m+20=0，∴m=1或m=20

点评：本题考查向量数量积、夹角的计算，向量共线、向量垂直的条件及判定．是向量中的基本知识，本题属于基础题．