Question

如图，公园内有一块边长为2a的正三角形ABC空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE方便花园管理．设D、E分别在AB、AC上，且DE均分三角形ABC的面积．
（1）设AD=x（x≥a），DE=y，试将y表示为x的函数关系式；
（2）若DE是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE的位置应在哪里？若DE是参观路线，希望其最长，DE的位置应在哪里？

Answer 1

解：（1）因为DE均分三角形ABC的面积，
所以，即．
在△ADE中，由余弦定理得．
因为0≤AD≤2a，0≤AE≤2a，所以解得a≤x≤2a．
故y关于x的函数关系式为．
（2）令t=x²，则a²≤t≤2a²，且．
设．
若a²≤t₁＜t₂≤2a²，则
所以f（t）在[a²，2a²]上是减函数．同理可得f（t）在[2a²，4a²]上是增函数．
于是当t=2a²即时，，此时DE∥BC，且．
当t=a²或t=4a²即x=a或2a时，，此时DE为AB或AC上的中线．
故当取且DE∥BC时，DE最短；当D与B重合且E为AC中点，或E与C重合且D为AB中点时，DE最长．
分析：（1）先根据S_△ADE=S_△ABC求得x和AE的关系，进而根据余弦定理把x和AE的关系代入求得x和y的关系．
（2）根据均值不等式求得y的最小值，求得等号成立时的x的值，判断出DE∥BC，且DE=a．进而可得函数f（x）的解析式，根据其单调性求得函数的最大值．
点评：本题主要考查了基本不等式，以及函数的单调型求最值，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于综合题．