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    已知f（x）=数学公式是奇函数．
    （1）求a的值；
    （2）求f（x）的反函 数 f-1（x），判断f-1（x）的奇偶性，并给予证明；
    （3）若函数y=F（x）是以2为周期的奇函数，当x∈（-1，0）时，F（x）=f-1（x），求x∈（2，3）时F（x）的表达式．

    解：（1）∵f（x）=是奇函数，由f（0）=，得a=-1；
    （2）由y=f（x）=，
    得，
    ∴．
    而，
    ∴f-1（x）在（-1，1）上是奇函数；
    （3）因为当-1＜x＜1时，F（x）=f-1（x）
    ∴当2＜x＜3时，-3＜-x＜-2?-3+2＜2-x＜0?-1＜2-x＜0
    ∴，
    又∵F（x）是以2为周期的奇函数，
    ∴F（2-x）=F（-x）=-F（x）
    ∴．
    分析：（1）函数f（x）是定义在实数集上的奇函数，由f（0）=0求解a的值；
    （2）由函数解析式利用指数式和对数式的互化求解x，把x和y互换后得到原函数的反函数，然后利用就行的定义证明奇偶性；
    （3）由2＜x＜3两边同时乘以-1，再加2后求出2-x的范围，代入F（x）=f-1（x），再利用周期函数的性质得到x∈（2，3）时F（x）的表达式．
    点评：本题考查了函数的性质，考查了函数的反函数的求法，训练了指数式和对数式的互化，通过对定义域的变化求解函数解析式是解答该题的关键，是中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数． 当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有
    f(a)+f(b)a+b
    ＞0    成立．
    （Ⅰ）判断函f（x）的单调性，并证明；
    （Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m2-2bm+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），则（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）（x∈R）的一段图象如图所示，f′（x）是函f（x）（数的导函数，且y=f（x+1）是奇函数，给出以下结论：
    ①f（1-x）+f（1+x）=0；
    ②f′（x）（x-1）≥0；
    ③f（x）（x-1）≥0；
    ④f（x）+f（-x）=0
    其中一定正确的是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2006•宝山区二模）已知f（x）=
    10x+a10x+1
    是奇函数．
    （1）求a的值；
    （2）求f（x）的反函 数 f-1（x），判断f-1（x）的奇偶性，并给予证明；
    （3）若函数y=F（x）是以2为周期的奇函数，当x∈（-1，0）时，F（x）=f-1（x），求x∈（2，3）时F（x）的表达式．

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年陕西师大附中高一（上）期中数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数． 当a，b∈[-1，1]，且a+b≠0时，有成立．
    （Ⅰ）判断函f（x）的单调性，并证明；
    （Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m2-2bm+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

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