Question

已知ABCD是边长为a，∠DAB=60°的菱形，点p为ABCD 所在平面外一点，面PAD为正三角形，其所在平面垂直于面ABCD
（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若E为BC的中点，能否在PC上找到一F使平面DEF⊥平面ABCD．

Answer 1

证明：（1）连接BD，ABCD是边长为a，∠DAB=60°的菱形，
G为AD的中点，∴BG⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面PAD；
（2）连接PG，面PAD为正三角形，其所在平面垂直于面ABCD，
PG⊥平面ABCD，BG是PB在平面ABCD内的射影，
BG⊥AD，
∴AD⊥PB；
（3）连接ED、GC交于点O，易得O为GC中点，
在平面PGC内，作OF∥GP，交PC于点F，F为PC中点，
FO⊥平面ABCD；
∴平面DEF⊥平面ABCD．
分析：（1）连接BD，利用ABCD是边长为a，∠DAB=60°的菱形，G为AD的中点，推出BG⊥AD，然后证明BG⊥平面PAD；
（2）连接PG，利用PG⊥平面ABCD，BG是PB在平面ABCD内的射影，推出AD⊥PB；
（3）连接ED、GC交于点O，易得O为GC中点，通过作OF∥GP，交PC于点F，F为PC中点，说明FO⊥平面ABCD；即可证明结论．
点评：本题考查直线与平面的位置关系的证明，平面与平面的垂直，直线与直线的垂直，考查转化思想，空间想象能力．