Question

（2012•佛山二模）设曲线C：x²-y²=1上的点P到点A_n（0，a_n）的距离的最小值为d_n，若a₀=0，a_n=

2

d_n-1，n∈N*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设点B_n（a_n，a_n+1）到直线l_n：x-y+

1

2n

=0的距离为t_n，证明：对?n∈N*，都有不等式：t₁+t₂+…+t_n＜

1

2

成立．

Answer 1

分析：（1）设点P（x，y），利用两点间的距离公式，采用配方法可得d_n=

2+an2 2

，再根据a_n=

2

d_n-1，可得d_n=

an+1

2

，从而可得数列{

a

2 n

}是首项为2，公差为2的等差数列，进而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）先证明t_n=

n

-

n+1

+

1

2 n

，进而叠加，利用放缩法，即可证得结论．

解答：（1）解：设点P（x，y），则x²-y²=1，所以|PA_n|=

x2+(y-an)2

=

y2+1+(y-an)2

=

2(y- an 2 )2+ 2+an2 2

，
因为y∈R，所以当y=

an

2

时，|PA_n|取得最小值d_n，且d_n=

2+an2 2

，
又a_n=

2

d_n-1，∴a_n+1=

2

d_n，∴d_n=

an+1

2

∴

an+1

2

=

2+an2 2

两边平方得

a

2 n+1

-

a

2 n

=2，又a₀=0，∴

a

2 1

=2
故数列{

a

2 n

}是首项为2，公差为2的等差数列，所以

a

2 n

=2n，
∵a_n＞0，∴an=

2n

；
（2）证明：tn=

|an-an+1+ 1 2n |

2

=|

n

-

n+1

+

1

2 n

|=

( n+1 - n )2

2 n

∴t_n=

n

-

n+1

+

1

2 n

∴t₁+t₂+…+t_n=1-

n+1

+

1

2

+

1

2 2

+…+

1

2 n

∵

1

2 n

＜

1

n-1 + n

=

n

-

n-1

∴

1

2 2

+…+

1

2 n

＜

2

-1+

3

-

2

+…+

n

-

n-1

=

n

-1
∴t₁+t₂+…+t_n＜1-

n+1

+

1

2

+

n

-1＜

1

2

．

点评：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的综合，考查放缩法的运用，解题的关键是根据目标，适当放缩，难度较大．