Question

设函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+2x，g（x）=

1

2

ax²-（a-2）x，
（I）对于任意实数x∈[-1，2]，f′（x）≤m恒成立，求m的最小值；
（II）若方程f（x）=g（x）在区间（-1，+∞）有三个不同的实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求导函数，再求导函数的最大值，从而求出m的最小值；
（II）先令令h（x）=f（x）-g（x）=

1

6

x[2x2-3(a+1)x+6a]，从而等价于2x²-3（a+1）x+6a=0有两个大于-1且不等于0的根，进而可以解决．

解答：解：（I）f′（x）=x²-x+2≤m，对称轴x=

1

2

∈[-1，2]，f′（x）_max=f′（-1）=4≤m，即m的最小值为4
（II）令h（x）=f（x）-g（x）=

1

6

x[2x2-3(a+1)x+6a]
依题意得2x²-3（a+1）x+6a=0有两个大于-1且不等于0的根，
∴

△=9(a+1)2-48a＞0 x= 3(a+1) 4 ＞-1 2+3(a+1)+6a=9a+5＞0 a≠0

，从而解得-

5

9

＜a＜

1

3

(a≠0)或a＞3．

点评：本题研究恒成立问题，只需要转化为求函数的最大值即可，（II）中等价化简是简化解题的关键