Question

如图，圆与离心率为的椭圆（）相切于点.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过点引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点、与点、（均不重合）.

(ⅰ)若为椭圆上任一点，记点到两直线的距离分别为、，求的最大值；

(ⅱ)若，求与的方程.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)。

(Ⅱ) 的方程为，的方程为

或的方程为，的方程为。

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由题意: 解得   2分

椭圆的方程为                            3分

(Ⅱ)（ⅰ）设因为⊥,则因为

所以            5分

因为 

所以当时取得最大值为，此时点        6分

（ⅱ）设的方程为,由解得

由   解得                    8分

同理可得，                  10分

所以，

，

由得解得        13分

所以的方程为，的方程为

或的方程为，的方程为             14分

考点：本题主要考椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线椭圆的位置关系，圆的切线。

点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）结合向量的坐标运算，确定得到k的方程，为进一步确定直线方程奠定基础。