Question

一炮弹在某处爆炸，在F₁(-5 000,0)处听到爆炸声的时间比在F₂(5 000,0)处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆炸点所在的曲线的参数方程.

Answer 1

解析:本题与实际生活紧密相关，主要考查学生能否将所学数学知识应用于实际生活中来解决相关的问题，并注意曲线的普通方程与参数方程之间的关系.

解:由声速为340米/秒可知F₁、F₂两处与爆炸点的距离差为340×=6 000米.?

因此爆炸点在以F₁、F₂为焦点的双曲线上.?

因为爆炸点离F₁处比F₂处更远，

所以爆炸点D应在靠近F₂处的一支上.?

设爆炸点P的坐标为(x,y)，则PF₁-PF₂=6 000，?

即2a=6 000,a=3 000，而c=5 000，?

∴b²=5 000²-3 000²=4 000².?

又PF₁-PF₂=6 000＞0，?

∴x＞0.?

∴所求的双曲线方程为=1(x＞0).?

故所求曲线的参数方程为〔θ∈(-,)〕.

点评:在F₁处听到爆炸声比F₂处晚秒，相当于爆炸点离F₁的距离比F₂远6 000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题)；借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题).