Question

如图，已知点P为椭圆在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作与y轴和x轴的平行线交于C，过P引BC、AC的平行线交AC于N，交BC于M，交AB于D、E，矩形PMCN的面积是S₁，三角形PDE的面积是S₂，则S₁：S₂=________．

Answer 1

1
分析：根据椭圆方程设P（5cosθ，3sinθ），得到|PN|、|PM|关于θ的式子，从而得到矩形PMCN的面积S₁关于θ的式子．根据P点坐标和三角形相似的知识，分别算出D、E坐标关于θ的式子，从而得到|DP|、|EP|关于θ的式子，算出△PDE的面积S₂关于θ的式子，将S₁的式子与S₂式子加以对比，即可得到S₁：S₂的值．
解答：根据椭圆方程，设P（5cosθ，3sinθ），
∵P是椭圆第一象限内的点，∴，
由此可得：|PN|=5-5cosθ，|PM|=3-3sinθ，
∴矩形PMCN的面积S₁=|PM|•|PN|=15（1-cosθ）（1-sinθ）．
设D（m，n），
∵DP∥x轴，∴n=3sinθ，可得m=5（1-sinθ），
因此，|PD|=5cosθ-5（1-sinθ）=5（sinθ+cosθ-1）．
同理，求得|PE|=3（sinθ+cosθ-1）
∴△PDE的面积S₂=|PD|•|PE|=×5（sinθ+cosθ-1）×3（sinθ+cosθ-1）=（sinθ+cosθ-1）²
∵（sinθ+cosθ-1）²=sin²θ+cos²θ+1+2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ=2（1-sinθ-cosθ+sinθcosθ）
∴S₂=（sinθ+cosθ-1）²=15（1-sinθ-cosθ+sinθcosθ）=15（1-cosθ）（1-sinθ）
由此可得，S₁=S₂，即得S₁：S₂=1
故答案为：1
点评：本题给出由椭圆生成的矩形PMCN的面积S₁和△PDE的面积S₂，求S₁：S₂的值．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．