Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长均为1，则点B₁到平面ABC₁的距离为

 

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Answer 1

分析：在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．观察点的位置可知：点B₁到平面ABC₁的距离就等于点C到平面ABC₁的距离，取AB得中点M，连接CM，C₁M，过点C作CD⊥C₁M，垂足为D，则平面ABC₁⊥平面C₁CM，所以CD⊥平面C₁AB，故CD的长度即为点C到平面ABC₁的距离，在Rt△C₁CM中，利用等面积法即可求出CD的长度．

解答：解：如图所示，取AB得中点M，连接CM，C₁M，过点C作CD⊥C₁M，垂足为D
∵C₁A=C₁B，M为AB中点，
∴C₁M⊥AB
∵CA=CB，M为AB中点，
∴CM⊥AB
又∵C₁M∩CM=M，
∴AB⊥平面C₁CM
又∵AB?平面ABC₁，
∴平面ABC₁⊥平面C₁CM，平面ABC₁∩平面C₁CM=C₁M，CD⊥C₁M，
∴CD⊥平面C₁AB，
∴CD的长度即为点C到平面ABC₁的距离，即点B₁到平面ABC₁的距离
在Rt△C₁CM中，C₁C=1，CM=

3

2

，C₁M=

7

2

∴CD=

21

7

，即点B₁到平面ABC₁的距离为

21

7

故答案为：

21

7

点评：本小题主要考查棱柱，线面关系、点到平面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．