Question

某几何体的三视图的形状、大小如图所示．
（1）求该几何体的体积；
（2）设点D、E分别在线段AC、BC上，且DE∥平面ABB₁A₁，求证：DE∥A₁B₁．

Answer 1

分析：（1）求该几何体的体积，由三视图可以看出，此几何体是一个三棱柱，其高为3，底面是一个腰为2，底为2

2

的等腰三角形，由此不难求出体积
（2）由于DE∥平面ABB₁A₁，故直接用线面平行的性质定理即可得出DE∥AB，再由平行的传递性即可得到所证的结论．

解答：解：（1）由三视图可以看出，此几何体是一个三棱柱，其高为3，底面是一个腰为2，底为2

2

的等腰三角形，
∴底面三角形的高为

2

∴体积为3×

1

2

×

2

×2

2

=6
（2）证明：设点D、E分别在线段AC、BC上，且DE∥平面ABB₁A₁，
∵面ABC∩平面ABB₁DE∥A₁B₁A₁=AB
∴DE∥AB，由三棱柱的性质知AB∥B₁A₁，
∴DE∥A₁B₁

点评：本题考查由三视图还原实物图求几何体的体积，解题的关键是正确还原实物图及其数据，第二小问考查线线的平行，解此题的关键是熟练掌握线面平行的性质定理及三棱柱的性质．