Question

如下图所示,一海岛驻扎一支部队,海岛离岸边最近点B的距离是150 km.在岸边距点B 300 km的点A处有一军需品仓库.有一批军需品要尽快送达海岛.A与B之间有一铁路,现用海陆联运方式运送.火车时速为50 km,船时速为30 km,试在岸边选一点C,先将军需品用火车送到点C,再用轮船从点C运到海岛.问点C选在何处可使运输时间最短?

Answer 1

分析：本题考查利用导数求函数的最值问题及分析问题、解决问题的能力.解题的关键是建立目标函数.

解：设点C与点B的距离为x km,则运输时间

,0≤x≤300.  

因为

所以    

令T′(x)=0,则有5x-3=0,

5x=3,25x²=9(150²+x²).

解此方程,得.           

舍去负值,取x=x₀=112.5.

因为T(0)==11,T(300)≈11.2,

T(112.5)==10,   

又因为在区间［0,300］内,10是11,11.2和10中的最小者,因此,x=x₀=112.5是最小值点.

即所选点C在与点B的距离为112.5 km处运输时间最省.