Question

【题目】观察以下等式：

13＝12

13+23＝（1+2）2

13+23+33＝（1+2+3）2

13+23+33+43＝（1+2+3+4）2

（1）请用含n的等式归纳猜想出一般性结论，并用数学归纳法加以证明．

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n3+n，求S10．

Answer 1

【答案】（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；证明见解析（2）3080

【解析】

（1）根据式子猜想出一般性结论，然后当时，证明成立，假设时，式子也成立，然后对时的式子进行化简，从而证明结论成立；（2）对进行分组求和，然后根据（1）中所得到的求和公式，进行求和计算，得到答案.

（1）猜想13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；

证明：当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；

假设n＝k时，13+23+33+…+k3＝（1+2+3+…+k）2，

当n＝k+1时，13+23+33+…+k3+（k+1）3＝（1+2+3+…+k）2+（k+1）3

，

可得n＝k+1时，猜想也成立，

综上可得对任意的正整数n，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2；

（2）数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n3+n，

S10＝（13+23+…+103）+（1+2+3+…+10）＝（1+2+…+10）2

＝552+55＝3080．