Question

已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v是时间t的函数v（t），求物体在t=0到t=t₀这段时间内所经过的路程。

Answer 1

解：（1）分割：
将时间[0，t₀]分成n个小区间，每个区间记为（i=1，2…，n），
每个小区间所表示的时间为，
各个区间物体运动的距离记作△s_i（i=1，2，…，n）；
（2）近似代替：
在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离，在小区间上任取一时刻ξ_i（i=1，2，…，n），
用时刻ξ_i的速度v（ξ_i）近似代替第i个小区间上的速度，由匀速直线运动的路程公式，每个小区间物体运动所经过的距离可以近似表示为△s_i≈v（ξ_i）△t（i=1，2， …，n）；
（3）求和：由于每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间[0，t0]范围物体运动的距离s就可以用这一物体在分割n个小区间上做n个匀速直线运动的路程和近似代替，即_i）△t；
（4）取极限：求和式①的极限：当所分时间越短，即就越小，和式①的值就越接近s，
因此，当n→∞，即时，和式①的极限就是所求的物体在时间区间[0，t0]上所经过的路程，
由此可得_i）△t。