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    已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

    思路解析:a+b=1的充分条件是a3+b3+ab-a2-b2=0,需证“a3+b3+ab-a2-b2=0a+b=1”.反之,是必要性.

    证明:(必要性)∵ a+b=1,即a+b-1=0,

    ∴ a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2+b2-ab)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.

    (充分性)∵ a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,

    而ab≠0,

    ∴ a≠0且b≠0.

    而a2-ab+b2=(a-)2+b2＞0,∴ a+b-1=0,即a+b=1.

    综上,可知当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

    误区警示

    这种题在进行证明时有时误将充分性当必要性,又将必要性当充分性来证,故首先要分清条件与结论是什么.

    另外,该例的叙述格式是B成立的充要条件是A,因此由AB是充分性,由BA是必要性.若叙述格式是p是q的充要条件,则由pq是充分性,由qp是必要性.

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