Question

已知f（x）=x⁴-4x³+（3+m）x²-12x+12，m∈R．
（1）若f′（1）=0，求m的值，并求f（x）的单调区间；
（2）若对于任意实数x，f（x）≥0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出f（x）的导数f′（x）=4x³-12x²+2（3+m）x-12，f′（1）=0，求出m的值．再由f′（x）=0，解得x=1，列表讨论能得到f（x）的单调区间．
（2）f（x）=（x²+3）（x-2）²+（m-4）x²，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x⁴-4x³+（3+m）x²-12x+12，m∈R，
∴f′（x）=4x³-12x²+2（3+m）x-12，
∴f′（1）=4-12+2（3+m）-12=0，
解得m=7．
∴f′（x）=4x³-12x²+20x-12=4（x-1）（x²-2x+3），
方程x²-2x+3=0的判别式△=2²-3×4=-8＜0，
∴x²-2x+3＞0，
所以f′（x）=0，解得x=1，
列表讨论

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	极小值	↑

由此可得f（x）的单调减区间是（-∞，1），f（x）单调增区间是（1，+∞）．
（2）f（x）=x⁴-4x³+（3+m）x²-12x+12=x⁴-4x³+3x²+mx²-12x+12
=x⁴-4x³+4x²+3x²+mx²-12x+12-4x²=x²（x²-4x+4）+（3x²-12x+12）+mx²-4x²
=x²（x-2）²+3（x-2）²+（m-4）x²=（x-2）²（x²+3）+（m-4）x²．
因为（x-2）²（x²+3）≥0，所以只要讨论（m-4）x²是否恒大于0即可．
①当m＜4时，f（2）=4（m-4）＜0，不合题意，
②当m≥4时，f（x）=（x²+3）（x-2）²+（m-4）x²≥0，对一切实数x恒成立，
所以，m的取值范围是[4，+∞）．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质的灵活运用．