Question

已知椭圆C:+=1(a>b>0),点P在椭圆上,其左、右焦点为F₁,F₂.

(1)求椭圆C的离心率.

(2)若·=,过点S的动直线l交椭圆于A,B两点,请问在y轴上是否存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个定点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【解析】(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0),

点P在椭圆上,

所以+=1,所以a²=2b²,

所以c²=a²-b²=b²,所以e==.

(2)因为·=,

所以·=,

所以b²-c²+=,

所以a=,b=1,

所以椭圆方程为+y²=1;

假设存在定点M,使以AB为直径的圆恒过这个点.

当AB⊥x轴时,以AB为直径的圆的方程为:x²+y²=1①

当AB⊥y轴时,以AB为直径的圆的方程为:x²+=②

由①②知定点M(0,1),

下证:以AB为直径的圆恒过定点M(0,1).

设直线l:y=kx-,代入椭圆方程,

消去y可得(2k²+1)x²-kx-=0,

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

则x₁+x₂=,x₁x₂=,

因为=(x₁,y₁-1),=(x₂,y₂-1),

所以·=x₁x₂+(y₁-1)(y₂-1)

=(1+k²)x₁x₂-k(x₁+x₂)+=0,

所以在x轴上存在定点M(0,1),使以AB为直径的圆恒过这个定点.