Question

已知双曲线y²-x²=1，过上焦点F₂的直线与下支交于A、B两点，且线段AF₂、BF₂的长度分别为m、n．
（1）写出直线AB的斜率k的取值范围；
（2）证明mn≥1；
（3）当直线AB的斜率时，求mn的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）结合等轴双曲线的性质能够写出直线AB的斜率k的取值范围．
（2）双曲线焦点为．设直线AB的方程为．当k=0时，mn=1．当代入双曲线方程，得．由双曲线的第二定义，知，，由此能够证明mn≥1．
（3）记mn=λ，由，解得．由为所求．
解答：解：（1）所求斜率的范围是-1＜k＜1．
（说明：只要写出范围，不需考查过程）（2分）
（2）易知双曲线上焦点为．
设直线AB的方程为．
当k=0时，A、B两点的横坐标分别为1和-1，
此时mn=1．（4分）
当代入双曲线方程，消去x得．（6分）
由双曲线的第二定义，知，（8分）
所以，．
综上，知mn≥1．（10分）
（3）记mn=λ，由（2）知，，
解得．
由为所求．（14分）
点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．