Question

（2013•黄冈模拟）挪威数学家阿贝尔，曾经根据阶梯形图形的两种不同分割（如图），利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：
a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=a₁（b_1-b₂）+L₂（b₂-b₃）+L₃（b₃-b₄）+…+L_n-1（b_n-1-b_n）+L_nb_n
则其中：（I）L₃=

a₁+a₂+a₃

；（Ⅱ）L_n=

a₁+a₂+a₃+…+a_n

．

Answer 1

分析：根据a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=a₁（b₁-b₂）+L₂（b₂-b₃）+L₃（b₃-b₄）+…+L_n-1（b_n-1-b_n）+L_nb_n，分别取n=2，3求出L₂，L₃，找出规律，从而求出L_n．

解答：解：根据题意，由于利用它们的面积关系发现了一个重要的恒等式一阿贝尔公式：
a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=a₁（b₁-b₂）+L₂（b₂-b₃）+L₃（b₃-b₄）+…+L_n-1（b_n-1-b_n）+L_nb_n，
当n=2时，则a₁b₁+a₂b₂=a₁（b₁-b₂）+L₂b₂，
∴L₂=a₁+a₂，
当n=3时，则a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=a₁（b₁-b₂）+L₂（b₂-b₃）+L₃b₃，
∴L₃=a₁+a₂+a₃，
而对于该结论加以推广可知，L_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
故答案为：a₁+a₂+a₃，a₁+a₂+a₃+…+a_n．

点评：本题主要是考查了数列的规律性的运用，根据前几项的规律归纳出第n项的规律，同时考查了推理的能力，属于中档题．