Question

甲乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛，比赛没有平局，设甲在每局中获胜的概率为

2

3

，且各局胜负相互独立，已知比赛中，乙嬴了第一局比赛．
（I）求甲获胜的概率；（用分数作答）
（Ⅱ）设比赛总的局数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．（用分数作答）

Answer 1

分析：（I）甲获胜的情况有两种：一是第一局负，此后连胜三局；二是第一局负，第二局到第四局中两胜一负，第五局胜，由此能求出甲胜的概率．
（Ⅱ）ξ=3，4，5，P（ξ=3）=( 1-

2

3

)2=

1

9

，P（ξ=4）=(

2

3

)3+

C

1 2

•

2

3

•(

1

3

)2=

4

9

，P(ξ=5)=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)2+

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)3=

4

9

，由此能求出ξ的分布列及期望Eξ．

解答：解：（I）甲获胜的概率P=(

2

3

)3+

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)3=

16

27

（Ⅱ）由题设知：ξ=3，4，5，
P（ξ=3）=( 1-

2

3

)2=

1

9

，
P（ξ=4）=(

2

3

)3+

C

1 2

•

2

3

•(

1

3

)2=

4

9

，
P(ξ=5)=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)2+

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)3=

4

9

∵ξ的分布列为：

ξ	3	4	5
P	1 9	4 9	4 9

∴Eξ=3•

1

9

+4•

4

9

+5•

4

9

=

13

3

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，注意概率性质的运用，易错点是忽视乙嬴了第一局比赛这个前提条件．