Question

集合A={x∈R|y=lgx}，B={x∈R|2x²-2（1-a）x+a（1-a）＞0}，D=A∩B．
（I）当a=2时，求集合D（用区间表示）；
（II）当0＜a＜

1

2

时，求集合D（用区间表示）；
（III）在（II）的条件下，求函数f（x）=4x³-3（1+2a）x²+6ax在D内的极值点．

Answer 1

分析：（I）根据对数函数的性质得出A={x|x＞0}，当a=2时 解不等式 x²+x-1＞0得出集合B，再求出它们的交集即可；
（II）不等式 2x²-2（1-a）x+a（1-a）＞0，令h（x）=2x²-2（1-a）x+a（1-a），先计算△=4（a-1）（3a-1）．下面对a进行分类讨论：①当0＜a＜

1

3

时△＞0；②当a=

1

3

时，△=0，③当

1

3

＜a＜

1

2

时，△＜0，分别求出集合D即可；
（III）先求出函数f（x）的导数f'（x）=12x²-6（1+2a）x+6a，再利用导数结合对字母a分类讨论研究原函数的单调性即可得出函数的极值点．

解答：解：（I）A={x|x＞0}
当a=2时 B={x∈R|x²+x-1＞0}
解不等式 x²+x-1＞0得 x＜

-1- 5

2

或 x＞

-1+ 5

2

，
∴B={x|x＜

-1- 5

2

，或x＞

-1+ 5

2

}
∴A∩B=(

-1+ 5

2

，+∞)．
（II）不等式 2x²-2（1-a）x+a（1-a）＞0，
令h（x）=2x²-2（1-a）x+a（1-a），
△=[-2（1-a）]²-4×2×a（1-a）
=4（1-a）²-8（1-a）a
=4（1-a）（1-a-2a）
=4（1-a）（1-3a）
=4（a-1）（3a-1）
①当0＜a＜

1

3

时△＞0，此时方程h（x）=0有两个不同的解x1=

2(1-a)- 4(3a-1)(a-1)

4

=

(1-a)- (3a-1)(a-1)

2

x2=

2(1-a)+ 4(3a-1)(a-1)

4

=

(1-a)+ (3a-1)(a-1)

2

，
∴B={x|x＜x₁，或x＞x₂}，∵x₁+x₂=1-a，∵0＜a＜

1

3

，
∴x₁+x₂=1-a＞0，
x1•x2=

(1-a)2-(3a-1)(a-1)

4

=

(a-1)(a-1-3a+1)

4

=

(a-1)(-2a)

4

=

a(1-a)

2

＞0
∴x₁＞0且x₂＞0，
∴D=A∩B=（0，x）∪（x₂+∞）=(0，

(1-a)- (3a-1)(a-1)

2

)∪(

(1-a)+ (3a-1)(a-1)

2

，+∞)
②当a=

1

3

时△=0此时方程h（x）=0有唯一解x1=x2=

1

3

此时B=(-∞，

1

3

)∪(

1

3

，+∞)于是D=A∩B=(0，

1

3

)∪(

1

3

，+∞)
③当

1

3

＜a＜

1

2

时，△＜0，对?x∈R，h（x）＞0，∴B=R，∴D=A∩B=A=（0，+∞）
（III）∵f'（x）=12x²-6（1+2a）x+6a

=6[2x2-(1+2a)x+a] =6(2x-1)(x-a)

令f′(x)=0得x1=

1

2

，x2=a，
∵0＜a＜

1

2

，∴当x＜a时f'（x）＞0，∴f（x）在（-∞，a）上单调递增
当a＜x＜

1

2

时f′(x)＜0∴f(x)在(a，

1

2

)上单调递减
当x＞

1

2

时f′(x)＞0∴f(x)在(

1

2

，+∞)上单调递增
①当

1

3

＜a＜

1

2

时  D=（0，+∞），
当0＜x＜a时f'（x）＞0∴f（x）在（0，a）单调递增，
当a＜x＜

1

2

时f′(x)＞0∴f(x)在(

1

2

，+∞)上单调递增，
当x＞

1

2

时f′(x)＞0∴f(x)在(

1

2

，+∞)上单调递增∴f(x)有极小值点为

1

2

，极大值点为a．
②当a=

1

3

时D=(0，

1

，3

)∪(

1

3

，+∞)
此时f(x)在D上有极小值点

1

2

③0＜a＜

1

3

时，D=（0，x₁）∪（x₂，+∞），
x1=

(1-a)- (3a-1)(a-1)

2

=

(1-a)- 3a2-4a+1

2

，

∵3a2-4a+1-(9a2-6a+1) =-6a2+2a =-2a(3a-1)=2a(1-3a)＞0

∴x1＜ (1-a)- 9a2-6a+1 2 = 1-a-(3a-1) 2 = 1-a-(1-3a) 2

=

2a

2

=a
当1-

2

2

＜a＜

1

3

时x2=

(1-a)+ (3a-1)(a-1)

2

＜

1-a+a

2

=

1

2

此时 

1

2

∈(x2，+∞)，
又∵x2=

(1-a)+ (3a-1)(a-1)

2

＞

1-a+ 9a2-6a+1

2

=

2-4a

2

=1-2a
又∵（1-2a）-a=1-3a＞0，∴x₂＞1-2a＞a，∴a∉（x₂，+∞），此时f(x)在D上有极小值点

1

2

当0＜a＜1-

2

2

时，x2=

1-a+ (3a-1)(a-1)

2

＞

1-a+a

2

=

1

2

，此时f（x）在D上没有极值点．
综上所述：
当

1

3

＜a＜

1

2

时，f(x)有极小值点为

1

2

，极大值点为a；
当a=

1

3

时，时f(x)在D上有极小值点

1

2

；
当0＜a＜1-

2

2

时，f（x）在D上没有极值点；
当1-

2

2

＜a＜

1

3

时，f(x)在D上有极小值点

1

2

﹒

点评：本题考查不等式的解法，导数知识的运用，考查交集及其运算，解题的关键是根据导数确定函数的极值，属于中档题．