Question

计算下列函数的定积分：
（1）；
（2）dx．

Answer 1

解：（1）∵cos2x=cos²x-sin²x，
∴=
==（sinx-cosx）=（sin-cos）-（sin0-cos0）=2
（2）dx=+
=（-x²-2x）+（x²+2x）=（2-0）+（6+2）=10
分析：（1）根据二倍角的余弦公式，得cos2x=cos²x-sin²x，因此将原式化为y=cosx+sinx在[0，]上的定积分值，结合积分计算公式，不难算出原式的值；
（2）函数y=|x+2|在区间[-4，-2]上表达式为y=-x-2，在区间[-2，2]上表达式为y=x+2．因此将所求积分转化为y=-x-2在区间[-4，-2]上的积分值，加上y=x+2在区间[-2，2]上的积分值，所得的和即为原式的值．
点评：本题通过计算两个积分式的值，考查了二倍角的三角函数、分段函数积分的处理、定积分的计算公式和运算法则等知识，属于基础题．