Question

（2011•安徽模拟）已知函数f（x）=sinx-

x

2

的导数为f'（x），且f'（x）的最大值为b，若g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上单调递减，则实数k的取值范围是

[0，+∞）

．

Answer 1

分析：先根据f'（x）的最大值为b求出b值，再由函数g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上单调递减，转化成g'（x）≤0在[1，+∞）内恒成立，利用参数分离法即可求出k的范围．

解答：解：∵函数f（x）=sinx-

x

2

的导数为f'（x）=cosx-

1

2

，
∴b=

1

2

∵g（x）=2lnx-x²-kx在[1，+∞）上单调递减
∴g'（x）=

2

x

-2x-k≤0在[1，+∞）内恒成立．
即 a≥

2

x

-2x在[1，+∞）内恒成立．
∵t=

2

x

-2x在[1，+∞）上的最大值为0，
∴k≥0．
故答案为：[0，+∞）．

点评：此题主要考查利用导函数的正负判断原函数的单调性，关于不等式恒成立问题要转化成求最值问题来解决，属于基础题．